Conjuntos, Relaciones y Funciones

 Conjuntos | Relaciones | Funciones

Conjuntos

Definición de Conjuntos

  1) Enumerando   A = { 1,3,5,7 }
  2) Por Propiedades   A = { x | x es impar } = { x | (x mod 2)=1 }
  3) Intervalos   A = [ 1,5 ] = { 1,2,3,4,5 }
  A = ( 1,5 ) = { 2,3,4 }
Conjuntos especiales

Ø   Conjunto Vacío
U   Conjunto Universal
  Conjunto Números Enteros Positivos   1,2,3,...
  Conjunto Números Naturales   0,1,2,3,...
  Conjunto Números Enteros   ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...
  Conjunto Números Racionales
  (Razones de enteros, i.e. quebrados) 		  p/q donde p Î   y   q Î
  Conjunto Números Irracionales   Ö2, ¶, e, 0, -1, ¾, ...
Cardinalidad

Operador de Cardinalidad   long(A): Numero de elementos del conjunto A   A=[1,5],   long(A)=5
Finito   Número de elementos es finito   A=[1,5]
Infinito   Número indefinido de elementos   A = { x | x es par }
Contable   Sus elementos son enumerables
  (puede ser infinito). 		 
No Contable Dado cualquier pareja de elementos siempre existirá un elemento intermedio entre ambos.  
Operaciones para Conjuntos

Unión   A È B = { x Î U   |   x Î A   Ù   x Î B }
Intersección   A Ç B = { x Î U   |   x Î A   Ú   x Î B }
Diferencia
(Complemento Relativo) 		  A - B = A \ B = { x Î U   |   x Î A   Ù   x Ï B }
  Equivalencia: B - A = B Ç Ac
Complemento   Ac = ~A = ¬A = = U - A = { x Î U   |   x Ï A }
Diferencia Simétrica   A Å B = (A È B) - (A Ç B) = (A - B) È (B - A) =
  { (xÎA Ú xÎB) Ù ~(xÎA Ù xÎB) } = { xÎ(AÈB) Ù xÏ(AÇB) }
Subconjunto   A Ì B = { Para todo xÎA también xÎB } = "x( xÎA ® xÎB) }
Unión / Intersección Múltiple   È Ai = { iÎI | xÎAi }
  iÎ I
Conjunto Potencia   Ã(A) = El conjunto de todos los subconjuntos de A
  Si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n subconjuntos.
  Ej: A={0,1}, luego Ã(A)={Ø, {0},{1},{0,1}}. Nota: Ã(Ø)={Ø}
  Formalmente: long(Ã(A)) = 2long(A)
Producto Cartesiano   A × B = { <a,b> | aÎA Ù bÎB }
  donde: <a,b> denota un par ordenado, i.e. tupla-2.
Relaciones entre Conjuntos

Conjunto Propio   A Ç B = A È B
Conjunto Impropio   (A Ç B) Ì (A È B)
Conjuntos Disjuntos   A Ç B = Æ


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Relaciones
Sean A y B conjuntos. Una relación de A a B es cualquier subconjunto R del producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R.

Formalmente:
aRb = { <a,b>ÎR | aÎA Ù bÎB Ù RÍA×B }
Ejemplo: Sean
P = { x Î | x es primo Ù x<12 } = { 1, 3, 5, 7, 11 }
I = { x Î | x es impar Ù x<10 } = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Por lo tanto:
P × I = { <1,1>, <1,3>, <1,5>, ... , <11,9>, }
Sea:
R Î P × I
R = { <1,1>, <3,3>, <5,5>, <7,7>, <11,9> }
Gráficamente:

I
Matriz:  
1 3 5 7 9
P  
1

3

5

7

11
<1,1> <1,3> <1,5> <1,7> <1,9>
<3,1> <3,3> <3,5> <3,7> <3,9>
<5,1> <5,3> <5,5> <5,7> <5,9>
<7,1> <7,3> <7,5> <7,7> <7,9>
<11,1> <11,3> <11,5> <11,7> <11,9>




                            Grafo:


Relaciones Especiales
E Relación de Equivalencia { < x,x > Î R }
R-1 Relación Inversa { < b,a > | < a,b > Î R }


Propiedades para Relaciones

Sea R Î S × S

Reflexiva Para toda xÎ S, existe xRx E Î R
Irreflexiva Para toda xÎ S, no existe xRx E Ç R = Æ
Simétrica Para toda xRy, existe yRx E Î R
Asimétrica Para cada xRy, no existe yRx E Ç R = Æ
Antisimétrica Para cada xRy, no existe yRx, pero si xRx E Î R
Transitiva Siempre que exista xRy, y yRz, existe xRz E Î R


La relación de equivalencia E es reflexiva, simétrica y transitiva.


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Funciones


Sean X, Y conjuntos.
Una función f de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada f(x) existe un solo elemento y Î Y.

Finalmente:
< x,y > Î f "La función f es una relación de X a Y".
f(x) = y "f mapea de X a Y".
f: X ® Y "f transforma X en Y",
donde: X es el dominio y Y es la imagen.


Existe una correspondencia uno-a-uno en f(x)=y, cuando para toda   xÎ X    existe una yÎ Y   , y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad.


Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una función inversa,

f-1(y) = x      si y solo si f(x) = y

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Alberto Pacheco
http://www.depi.itch.edu.mx/~apacheco/teoria/teoria.htm
Ultima actualización: 13/Mzo/2000